crypto/ec/ecp_nistputil.c

   1 /*
   2  * Written by Bodo Moeller for the OpenSSL project.
   3  */
   4 /* Copyright 2011 Google Inc.
   5  *
   6  * Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
   7  *
   8  * you may not use this file except in compliance with the License.
   9  * You may obtain a copy of the License at
  10  *
  11  *     http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
  12  *
  13  *  Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
  14  *  distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
  15  *  WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
  16  *  See the License for the specific language governing permissions and
  17  *  limitations under the License.
  18  */
  19
  20 #include <openssl/opensslconf.h>
  21 #ifndef OPENSSL_NO_EC_NISTP_64_GCC_128
  22
  23 /*
  24  * Common utility functions for ecp_nistp224.c, ecp_nistp256.c, ecp_nistp521.c.
  25  */
  26
  27 # include <stddef.h>
  28 # include "ec_lcl.h"
  29
  30 /*
  31  * Convert an array of points into affine coordinates. (If the point at
  32  * infinity is found (Z = 0), it remains unchanged.) This function is
  33  * essentially an equivalent to EC_POINTs_make_affine(), but works with the
  34  * internal representation of points as used by ecp_nistp###.c rather than
  35  * with (BIGNUM-based) EC_POINT data structures. point_array is the
  36  * input/output buffer ('num' points in projective form, i.e. three
  37  * coordinates each), based on an internal representation of field elements
  38  * of size 'felem_size'. tmp_felems needs to point to a temporary array of
  39  * 'num'+1 field elements for storage of intermediate values.
  40  */
  41 void ec_GFp_nistp_points_make_affine_internal(size_t num, void *point_array,
  42                                               size_t felem_size,
  43                                               void *tmp_felems,
  44                                               void (*felem_one) (void *out),
  45                                               int (*felem_is_zero) (const void
  46                                                                     *in),
  47                                               void (*felem_assign) (void *out,
  48                                                                     const void
  49                                                                     *in),
  50                                               void (*felem_square) (void *out,
  51                                                                     const void
  52                                                                     *in),
  53                                               void (*felem_mul) (void *out,
  54                                                                  const void
  55                                                                  *in1,
  56                                                                  const void
  57                                                                  *in2),
  58                                               void (*felem_inv) (void *out,
  59                                                                  const void
  60                                                                  *in),
  61                                               void (*felem_contract) (void
  62                                                                       *out,
  63                                                                       const
  64                                                                       void
  65                                                                       *in))
  66 {
  67     int i = 0;
  68
  69 # define tmp_felem(I) (&((char *)tmp_felems)[(I) * felem_size])
  70 # define X(I) (&((char *)point_array)[3*(I) * felem_size])
  71 # define Y(I) (&((char *)point_array)[(3*(I) + 1) * felem_size])
  72 # define Z(I) (&((char *)point_array)[(3*(I) + 2) * felem_size])
  73
  74     if (!felem_is_zero(Z(0)))
  75         felem_assign(tmp_felem(0), Z(0));
  76     else
  77         felem_one(tmp_felem(0));
  78     for (i = 1; i < (int)num; i++) {
  79         if (!felem_is_zero(Z(i)))
  80             felem_mul(tmp_felem(i), tmp_felem(i - 1), Z(i));
  81         else
  82             felem_assign(tmp_felem(i), tmp_felem(i - 1));
  83     }
  84     /*
  85      * Now each tmp_felem(i) is the product of Z(0) .. Z(i), skipping any
  86      * zero-valued factors: if Z(i) = 0, we essentially pretend that Z(i) = 1
  87      */
  88
  89     felem_inv(tmp_felem(num - 1), tmp_felem(num - 1));
  90     for (i = num - 1; i >= 0; i--) {
  91         if (i > 0)
  92             /*
  93              * tmp_felem(i-1) is the product of Z(0) .. Z(i-1), tmp_felem(i)
  94              * is the inverse of the product of Z(0) .. Z(i)
  95              */
  96             /* 1/Z(i) */
  97             felem_mul(tmp_felem(num), tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i));
  98         else
  99             felem_assign(tmp_felem(num), tmp_felem(0)); /* 1/Z(0) */
 100
 101         if (!felem_is_zero(Z(i))) {
 102             if (i > 0)
 103                 /*
 104                  * For next iteration, replace tmp_felem(i-1) by its inverse
 105                  */
 106                 felem_mul(tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i), Z(i));
 107
 108             /*
 109              * Convert point (X, Y, Z) into affine form (X/(Z^2), Y/(Z^3), 1)
 110              */
 111             felem_square(Z(i), tmp_felem(num)); /* 1/(Z^2) */
 112             felem_mul(X(i), X(i), Z(i)); /* X/(Z^2) */
 113             felem_mul(Z(i), Z(i), tmp_felem(num)); /* 1/(Z^3) */
 114             felem_mul(Y(i), Y(i), Z(i)); /* Y/(Z^3) */
 115             felem_contract(X(i), X(i));
 116             felem_contract(Y(i), Y(i));
 117             felem_one(Z(i));
 118         } else {
 119             if (i > 0)
 120                 /*
 121                  * For next iteration, replace tmp_felem(i-1) by its inverse
 122                  */
 123                 felem_assign(tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i));
 124         }
 125     }
 126 }
 127
 128 /*-
 129  * This function looks at 5+1 scalar bits (5 current, 1 adjacent less
 130  * significant bit), and recodes them into a signed digit for use in fast point
 131  * multiplication: the use of signed rather than unsigned digits means that
 132  * fewer points need to be precomputed, given that point inversion is easy
 133  * (a precomputed point dP makes -dP available as well).
 134  *
 135  * BACKGROUND:
 136  *
 137  * Signed digits for multiplication were introduced by Booth ("A signed binary
 138  * multiplication technique", Quart. Journ. Mech. and Applied Math., vol. IV,
 139  * pt. 2 (1951), pp. 236-240), in that case for multiplication of integers.
 140  * Booth's original encoding did not generally improve the density of nonzero
 141  * digits over the binary representation, and was merely meant to simplify the
 142  * handling of signed factors given in two's complement; but it has since been
 143  * shown to be the basis of various signed-digit representations that do have
 144  * further advantages, including the wNAF, using the following general approach:
 145  *
 146  * (1) Given a binary representation
 147  *
 148  *       b_k  ...  b_2  b_1  b_0,
 149  *
 150  *     of a nonnegative integer (b_k in {0, 1}), rewrite it in digits 0, 1, -1
 151  *     by using bit-wise subtraction as follows:
 152  *
 153  *        b_k b_(k-1)  ...  b_2  b_1  b_0
 154  *      -     b_k      ...  b_3  b_2  b_1  b_0
 155  *       -------------------------------------
 156  *        s_k b_(k-1)  ...  s_3  s_2  s_1  s_0
 157  *
 158  *     A left-shift followed by subtraction of the original value yields a new
 159  *     representation of the same value, using signed bits s_i = b_(i+1) - b_i.
 160  *     This representation from Booth's paper has since appeared in the
 161  *     literature under a variety of different names including "reversed binary
 162  *     form", "alternating greedy expansion", "mutual opposite form", and
 163  *     "sign-alternating {+-1}-representation".
 164  *
 165  *     An interesting property is that among the nonzero bits, values 1 and -1
 166  *     strictly alternate.
 167  *
 168  * (2) Various window schemes can be applied to the Booth representation of
 169  *     integers: for example, right-to-left sliding windows yield the wNAF
 170  *     (a signed-digit encoding independently discovered by various researchers
 171  *     in the 1990s), and left-to-right sliding windows yield a left-to-right
 172  *     equivalent of the wNAF (independently discovered by various researchers
 173  *     around 2004).
 174  *
 175  * To prevent leaking information through side channels in point multiplication,
 176  * we need to recode the given integer into a regular pattern: sliding windows
 177  * as in wNAFs won't do, we need their fixed-window equivalent -- which is a few
 178  * decades older: we'll be using the so-called "modified Booth encoding" due to
 179  * MacSorley ("High-speed arithmetic in binary computers", Proc. IRE, vol. 49
 180  * (1961), pp. 67-91), in a radix-2^5 setting.  That is, we always combine five
 181  * signed bits into a signed digit:
 182  *
 183  *       s_(4j + 4) s_(4j + 3) s_(4j + 2) s_(4j + 1) s_(4j)
 184  *
 185  * The sign-alternating property implies that the resulting digit values are
 186  * integers from -16 to 16.
 187  *
 188  * Of course, we don't actually need to compute the signed digits s_i as an
 189  * intermediate step (that's just a nice way to see how this scheme relates
 190  * to the wNAF): a direct computation obtains the recoded digit from the
 191  * six bits b_(4j + 4) ... b_(4j - 1).
 192  *
 193  * This function takes those five bits as an integer (0 .. 63), writing the
 194  * recoded digit to *sign (0 for positive, 1 for negative) and *digit (absolute
 195  * value, in the range 0 .. 8).  Note that this integer essentially provides the
 196  * input bits "shifted to the left" by one position: for example, the input to
 197  * compute the least significant recoded digit, given that there's no bit b_-1,
 198  * has to be b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 0.
 199  *
 200  */
 201 void ec_GFp_nistp_recode_scalar_bits(unsigned char *sign,
 202                                      unsigned char *digit, unsigned char in)
 203 {
 204     unsigned char s, d;
 205
 206     s = ~((in >> 5) - 1);       /* sets all bits to MSB(in), 'in' seen as
 207                                  * 6-bit value */
 208     d = (1 << 6) - in - 1;
 209     d = (d & s) | (in & ~s);
 210     d = (d >> 1) + (d & 1);
 211
 212     *sign = s & 1;
 213     *digit = d;
 214 }
 215 #else
 216 static void *dummy = &dummy;
 217 #endif