crypto/ec/ecp_nistputil.c

   1 /*
   2  * Written by Bodo Moeller for the OpenSSL project.
   3  */
   4 /* Copyright 2011 Google Inc.
   5  *
   6  * Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
   7  *
   8  * you may not use this file except in compliance with the License.
   9  * You may obtain a copy of the License at
  10  *
  11  *     http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
  12  *
  13  *  Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
  14  *  distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
  15  *  WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
  16  *  See the License for the specific language governing permissions and
  17  *  limitations under the License.
  18  */
  19
  20 #include <openssl/opensslconf.h>
  21 #ifdef OPENSSL_NO_EC_NISTP_64_GCC_128
  22 NON_EMPTY_TRANSLATION_UNIT
  23 #else
  24
  25 /*
  26  * Common utility functions for ecp_nistp224.c, ecp_nistp256.c, ecp_nistp521.c.
  27  */
  28
  29 # include <stddef.h>
  30 # include "ec_lcl.h"
  31
  32 /*
  33  * Convert an array of points into affine coordinates. (If the point at
  34  * infinity is found (Z = 0), it remains unchanged.) This function is
  35  * essentially an equivalent to EC_POINTs_make_affine(), but works with the
  36  * internal representation of points as used by ecp_nistp###.c rather than
  37  * with (BIGNUM-based) EC_POINT data structures. point_array is the
  38  * input/output buffer ('num' points in projective form, i.e. three
  39  * coordinates each), based on an internal representation of field elements
  40  * of size 'felem_size'. tmp_felems needs to point to a temporary array of
  41  * 'num'+1 field elements for storage of intermediate values.
  42  */
  43 void ec_GFp_nistp_points_make_affine_internal(size_t num, void *point_array,
  44                                               size_t felem_size,
  45                                               void *tmp_felems,
  46                                               void (*felem_one) (void *out),
  47                                               int (*felem_is_zero) (const void
  48                                                                     *in),
  49                                               void (*felem_assign) (void *out,
  50                                                                     const void
  51                                                                     *in),
  52                                               void (*felem_square) (void *out,
  53                                                                     const void
  54                                                                     *in),
  55                                               void (*felem_mul) (void *out,
  56                                                                  const void
  57                                                                  *in1,
  58                                                                  const void
  59                                                                  *in2),
  60                                               void (*felem_inv) (void *out,
  61                                                                  const void
  62                                                                  *in),
  63                                               void (*felem_contract) (void
  64                                                                       *out,
  65                                                                       const
  66                                                                       void
  67                                                                       *in))
  68 {
  69     int i = 0;
  70
  71 # define tmp_felem(I) (&((char *)tmp_felems)[(I) * felem_size])
  72 # define X(I) (&((char *)point_array)[3*(I) * felem_size])
  73 # define Y(I) (&((char *)point_array)[(3*(I) + 1) * felem_size])
  74 # define Z(I) (&((char *)point_array)[(3*(I) + 2) * felem_size])
  75
  76     if (!felem_is_zero(Z(0)))
  77         felem_assign(tmp_felem(0), Z(0));
  78     else
  79         felem_one(tmp_felem(0));
  80     for (i = 1; i < (int)num; i++) {
  81         if (!felem_is_zero(Z(i)))
  82             felem_mul(tmp_felem(i), tmp_felem(i - 1), Z(i));
  83         else
  84             felem_assign(tmp_felem(i), tmp_felem(i - 1));
  85     }
  86     /*
  87      * Now each tmp_felem(i) is the product of Z(0) .. Z(i), skipping any
  88      * zero-valued factors: if Z(i) = 0, we essentially pretend that Z(i) = 1
  89      */
  90
  91     felem_inv(tmp_felem(num - 1), tmp_felem(num - 1));
  92     for (i = num - 1; i >= 0; i--) {
  93         if (i > 0)
  94             /*
  95              * tmp_felem(i-1) is the product of Z(0) .. Z(i-1), tmp_felem(i)
  96              * is the inverse of the product of Z(0) .. Z(i)
  97              */
  98             /* 1/Z(i) */
  99             felem_mul(tmp_felem(num), tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i));
 100         else
 101             felem_assign(tmp_felem(num), tmp_felem(0)); /* 1/Z(0) */
 102
 103         if (!felem_is_zero(Z(i))) {
 104             if (i > 0)
 105                 /*
 106                  * For next iteration, replace tmp_felem(i-1) by its inverse
 107                  */
 108                 felem_mul(tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i), Z(i));
 109
 110             /*
 111              * Convert point (X, Y, Z) into affine form (X/(Z^2), Y/(Z^3), 1)
 112              */
 113             felem_square(Z(i), tmp_felem(num)); /* 1/(Z^2) */
 114             felem_mul(X(i), X(i), Z(i)); /* X/(Z^2) */
 115             felem_mul(Z(i), Z(i), tmp_felem(num)); /* 1/(Z^3) */
 116             felem_mul(Y(i), Y(i), Z(i)); /* Y/(Z^3) */
 117             felem_contract(X(i), X(i));
 118             felem_contract(Y(i), Y(i));
 119             felem_one(Z(i));
 120         } else {
 121             if (i > 0)
 122                 /*
 123                  * For next iteration, replace tmp_felem(i-1) by its inverse
 124                  */
 125                 felem_assign(tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i));
 126         }
 127     }
 128 }
 129
 130 /*-
 131  * This function looks at 5+1 scalar bits (5 current, 1 adjacent less
 132  * significant bit), and recodes them into a signed digit for use in fast point
 133  * multiplication: the use of signed rather than unsigned digits means that
 134  * fewer points need to be precomputed, given that point inversion is easy
 135  * (a precomputed point dP makes -dP available as well).
 136  *
 137  * BACKGROUND:
 138  *
 139  * Signed digits for multiplication were introduced by Booth ("A signed binary
 140  * multiplication technique", Quart. Journ. Mech. and Applied Math., vol. IV,
 141  * pt. 2 (1951), pp. 236-240), in that case for multiplication of integers.
 142  * Booth's original encoding did not generally improve the density of nonzero
 143  * digits over the binary representation, and was merely meant to simplify the
 144  * handling of signed factors given in two's complement; but it has since been
 145  * shown to be the basis of various signed-digit representations that do have
 146  * further advantages, including the wNAF, using the following general approach:
 147  *
 148  * (1) Given a binary representation
 149  *
 150  *       b_k  ...  b_2  b_1  b_0,
 151  *
 152  *     of a nonnegative integer (b_k in {0, 1}), rewrite it in digits 0, 1, -1
 153  *     by using bit-wise subtraction as follows:
 154  *
 155  *        b_k b_(k-1)  ...  b_2  b_1  b_0
 156  *      -     b_k      ...  b_3  b_2  b_1  b_0
 157  *       -------------------------------------
 158  *        s_k b_(k-1)  ...  s_3  s_2  s_1  s_0
 159  *
 160  *     A left-shift followed by subtraction of the original value yields a new
 161  *     representation of the same value, using signed bits s_i = b_(i+1) - b_i.
 162  *     This representation from Booth's paper has since appeared in the
 163  *     literature under a variety of different names including "reversed binary
 164  *     form", "alternating greedy expansion", "mutual opposite form", and
 165  *     "sign-alternating {+-1}-representation".
 166  *
 167  *     An interesting property is that among the nonzero bits, values 1 and -1
 168  *     strictly alternate.
 169  *
 170  * (2) Various window schemes can be applied to the Booth representation of
 171  *     integers: for example, right-to-left sliding windows yield the wNAF
 172  *     (a signed-digit encoding independently discovered by various researchers
 173  *     in the 1990s), and left-to-right sliding windows yield a left-to-right
 174  *     equivalent of the wNAF (independently discovered by various researchers
 175  *     around 2004).
 176  *
 177  * To prevent leaking information through side channels in point multiplication,
 178  * we need to recode the given integer into a regular pattern: sliding windows
 179  * as in wNAFs won't do, we need their fixed-window equivalent -- which is a few
 180  * decades older: we'll be using the so-called "modified Booth encoding" due to
 181  * MacSorley ("High-speed arithmetic in binary computers", Proc. IRE, vol. 49
 182  * (1961), pp. 67-91), in a radix-2^5 setting.  That is, we always combine five
 183  * signed bits into a signed digit:
 184  *
 185  *       s_(4j + 4) s_(4j + 3) s_(4j + 2) s_(4j + 1) s_(4j)
 186  *
 187  * The sign-alternating property implies that the resulting digit values are
 188  * integers from -16 to 16.
 189  *
 190  * Of course, we don't actually need to compute the signed digits s_i as an
 191  * intermediate step (that's just a nice way to see how this scheme relates
 192  * to the wNAF): a direct computation obtains the recoded digit from the
 193  * six bits b_(4j + 4) ... b_(4j - 1).
 194  *
 195  * This function takes those five bits as an integer (0 .. 63), writing the
 196  * recoded digit to *sign (0 for positive, 1 for negative) and *digit (absolute
 197  * value, in the range 0 .. 8).  Note that this integer essentially provides the
 198  * input bits "shifted to the left" by one position: for example, the input to
 199  * compute the least significant recoded digit, given that there's no bit b_-1,
 200  * has to be b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 0.
 201  *
 202  */
 203 void ec_GFp_nistp_recode_scalar_bits(unsigned char *sign,
 204                                      unsigned char *digit, unsigned char in)
 205 {
 206     unsigned char s, d;
 207
 208     s = ~((in >> 5) - 1);       /* sets all bits to MSB(in), 'in' seen as
 209                                  * 6-bit value */
 210     d = (1 << 6) - in - 1;
 211     d = (d & s) | (in & ~s);
 212     d = (d >> 1) + (d & 1);
 213
 214     *sign = s & 1;
 215     *digit = d;
 216 }
 217 #endif