crypto/ec/ecp_nistputil.c

   1 /*
   2  * Copyright 2011-2016 The OpenSSL Project Authors. All Rights Reserved.
   3  *
   4  * Licensed under the Apache License 2.0 (the "License").  You may not use
   5  * this file except in compliance with the License.  You can obtain a copy
   6  * in the file LICENSE in the source distribution or at
   7  * https://www.openssl.org/source/license.html
   8  */
   9
  10 /* Copyright 2011 Google Inc.
  11  *
  12  * Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
  13  *
  14  * you may not use this file except in compliance with the License.
  15  * You may obtain a copy of the License at
  16  *
  17  *     http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
  18  *
  19  *  Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
  20  *  distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
  21  *  WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
  22  *  See the License for the specific language governing permissions and
  23  *  limitations under the License.
  24  */
  25
  26 #include <openssl/opensslconf.h>
  27 #ifdef OPENSSL_NO_EC_NISTP_64_GCC_128
  28 NON_EMPTY_TRANSLATION_UNIT
  29 #else
  30
  31 /*
  32  * Common utility functions for ecp_nistp224.c, ecp_nistp256.c, ecp_nistp521.c.
  33  */
  34
  35 # include <stddef.h>
  36 # include "ec_local.h"
  37
  38 /*
  39  * Convert an array of points into affine coordinates. (If the point at
  40  * infinity is found (Z = 0), it remains unchanged.) This function is
  41  * essentially an equivalent to EC_POINTs_make_affine(), but works with the
  42  * internal representation of points as used by ecp_nistp###.c rather than
  43  * with (BIGNUM-based) EC_POINT data structures. point_array is the
  44  * input/output buffer ('num' points in projective form, i.e. three
  45  * coordinates each), based on an internal representation of field elements
  46  * of size 'felem_size'. tmp_felems needs to point to a temporary array of
  47  * 'num'+1 field elements for storage of intermediate values.
  48  */
  49 void ec_GFp_nistp_points_make_affine_internal(size_t num, void *point_array,
  50                                               size_t felem_size,
  51                                               void *tmp_felems,
  52                                               void (*felem_one) (void *out),
  53                                               int (*felem_is_zero) (const void
  54                                                                     *in),
  55                                               void (*felem_assign) (void *out,
  56                                                                     const void
  57                                                                     *in),
  58                                               void (*felem_square) (void *out,
  59                                                                     const void
  60                                                                     *in),
  61                                               void (*felem_mul) (void *out,
  62                                                                  const void
  63                                                                  *in1,
  64                                                                  const void
  65                                                                  *in2),
  66                                               void (*felem_inv) (void *out,
  67                                                                  const void
  68                                                                  *in),
  69                                               void (*felem_contract) (void
  70                                                                       *out,
  71                                                                       const
  72                                                                       void
  73                                                                       *in))
  74 {
  75     int i = 0;
  76
  77 # define tmp_felem(I) (&((char *)tmp_felems)[(I) * felem_size])
  78 # define X(I) (&((char *)point_array)[3*(I) * felem_size])
  79 # define Y(I) (&((char *)point_array)[(3*(I) + 1) * felem_size])
  80 # define Z(I) (&((char *)point_array)[(3*(I) + 2) * felem_size])
  81
  82     if (!felem_is_zero(Z(0)))
  83         felem_assign(tmp_felem(0), Z(0));
  84     else
  85         felem_one(tmp_felem(0));
  86     for (i = 1; i < (int)num; i++) {
  87         if (!felem_is_zero(Z(i)))
  88             felem_mul(tmp_felem(i), tmp_felem(i - 1), Z(i));
  89         else
  90             felem_assign(tmp_felem(i), tmp_felem(i - 1));
  91     }
  92     /*
  93      * Now each tmp_felem(i) is the product of Z(0) .. Z(i), skipping any
  94      * zero-valued factors: if Z(i) = 0, we essentially pretend that Z(i) = 1
  95      */
  96
  97     felem_inv(tmp_felem(num - 1), tmp_felem(num - 1));
  98     for (i = num - 1; i >= 0; i--) {
  99         if (i > 0)
 100             /*
 101              * tmp_felem(i-1) is the product of Z(0) .. Z(i-1), tmp_felem(i)
 102              * is the inverse of the product of Z(0) .. Z(i)
 103              */
 104             /* 1/Z(i) */
 105             felem_mul(tmp_felem(num), tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i));
 106         else
 107             felem_assign(tmp_felem(num), tmp_felem(0)); /* 1/Z(0) */
 108
 109         if (!felem_is_zero(Z(i))) {
 110             if (i > 0)
 111                 /*
 112                  * For next iteration, replace tmp_felem(i-1) by its inverse
 113                  */
 114                 felem_mul(tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i), Z(i));
 115
 116             /*
 117              * Convert point (X, Y, Z) into affine form (X/(Z^2), Y/(Z^3), 1)
 118              */
 119             felem_square(Z(i), tmp_felem(num)); /* 1/(Z^2) */
 120             felem_mul(X(i), X(i), Z(i)); /* X/(Z^2) */
 121             felem_mul(Z(i), Z(i), tmp_felem(num)); /* 1/(Z^3) */
 122             felem_mul(Y(i), Y(i), Z(i)); /* Y/(Z^3) */
 123             felem_contract(X(i), X(i));
 124             felem_contract(Y(i), Y(i));
 125             felem_one(Z(i));
 126         } else {
 127             if (i > 0)
 128                 /*
 129                  * For next iteration, replace tmp_felem(i-1) by its inverse
 130                  */
 131                 felem_assign(tmp_felem(i - 1), tmp_felem(i));
 132         }
 133     }
 134 }
 135
 136 /*-
 137  * This function looks at 5+1 scalar bits (5 current, 1 adjacent less
 138  * significant bit), and recodes them into a signed digit for use in fast point
 139  * multiplication: the use of signed rather than unsigned digits means that
 140  * fewer points need to be precomputed, given that point inversion is easy
 141  * (a precomputed point dP makes -dP available as well).
 142  *
 143  * BACKGROUND:
 144  *
 145  * Signed digits for multiplication were introduced by Booth ("A signed binary
 146  * multiplication technique", Quart. Journ. Mech. and Applied Math., vol. IV,
 147  * pt. 2 (1951), pp. 236-240), in that case for multiplication of integers.
 148  * Booth's original encoding did not generally improve the density of nonzero
 149  * digits over the binary representation, and was merely meant to simplify the
 150  * handling of signed factors given in two's complement; but it has since been
 151  * shown to be the basis of various signed-digit representations that do have
 152  * further advantages, including the wNAF, using the following general approach:
 153  *
 154  * (1) Given a binary representation
 155  *
 156  *       b_k  ...  b_2  b_1  b_0,
 157  *
 158  *     of a nonnegative integer (b_k in {0, 1}), rewrite it in digits 0, 1, -1
 159  *     by using bit-wise subtraction as follows:
 160  *
 161  *        b_k     b_(k-1)  ...  b_2  b_1  b_0
 162  *      -         b_k      ...  b_3  b_2  b_1  b_0
 163  *       -----------------------------------------
 164  *        s_(k+1) s_k      ...  s_3  s_2  s_1  s_0
 165  *
 166  *     A left-shift followed by subtraction of the original value yields a new
 167  *     representation of the same value, using signed bits s_i = b_(i-1) - b_i.
 168  *     This representation from Booth's paper has since appeared in the
 169  *     literature under a variety of different names including "reversed binary
 170  *     form", "alternating greedy expansion", "mutual opposite form", and
 171  *     "sign-alternating {+-1}-representation".
 172  *
 173  *     An interesting property is that among the nonzero bits, values 1 and -1
 174  *     strictly alternate.
 175  *
 176  * (2) Various window schemes can be applied to the Booth representation of
 177  *     integers: for example, right-to-left sliding windows yield the wNAF
 178  *     (a signed-digit encoding independently discovered by various researchers
 179  *     in the 1990s), and left-to-right sliding windows yield a left-to-right
 180  *     equivalent of the wNAF (independently discovered by various researchers
 181  *     around 2004).
 182  *
 183  * To prevent leaking information through side channels in point multiplication,
 184  * we need to recode the given integer into a regular pattern: sliding windows
 185  * as in wNAFs won't do, we need their fixed-window equivalent -- which is a few
 186  * decades older: we'll be using the so-called "modified Booth encoding" due to
 187  * MacSorley ("High-speed arithmetic in binary computers", Proc. IRE, vol. 49
 188  * (1961), pp. 67-91), in a radix-2^5 setting.  That is, we always combine five
 189  * signed bits into a signed digit:
 190  *
 191  *       s_(5j + 4) s_(5j + 3) s_(5j + 2) s_(5j + 1) s_(5j)
 192  *
 193  * The sign-alternating property implies that the resulting digit values are
 194  * integers from -16 to 16.
 195  *
 196  * Of course, we don't actually need to compute the signed digits s_i as an
 197  * intermediate step (that's just a nice way to see how this scheme relates
 198  * to the wNAF): a direct computation obtains the recoded digit from the
 199  * six bits b_(5j + 4) ... b_(5j - 1).
 200  *
 201  * This function takes those six bits as an integer (0 .. 63), writing the
 202  * recoded digit to *sign (0 for positive, 1 for negative) and *digit (absolute
 203  * value, in the range 0 .. 16).  Note that this integer essentially provides
 204  * the input bits "shifted to the left" by one position: for example, the input
 205  * to compute the least significant recoded digit, given that there's no bit
 206  * b_-1, has to be b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 0.
 207  *
 208  */
 209 void ec_GFp_nistp_recode_scalar_bits(unsigned char *sign,
 210                                      unsigned char *digit, unsigned char in)
 211 {
 212     unsigned char s, d;
 213
 214     s = ~((in >> 5) - 1);       /* sets all bits to MSB(in), 'in' seen as
 215                                  * 6-bit value */
 216     d = (1 << 6) - in - 1;
 217     d = (d & s) | (in & ~s);
 218     d = (d >> 1) + (d & 1);
 219
 220     *sign = s & 1;
 221     *digit = d;
 222 }
 223 #endif